О РАНГЕ НЕЛИНЕЙНЫХ КВАЗИСОВЕРШЕННЫХ КОДОВ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Доступ платный или только для подписчиков

Аннотация

Рассматриваются нелинейные квазисовершенные коды с радиусом упаковки 1 над конечным полем из q элементов, где q – степень простого числа. Эти коды мы называем нелинейными 1-квазисовершенными q-ичными кодами. Изучаются ранг и размерность ядра нелинейных 1-квазисовершенных q-ичных кодов. Если ранг кода равен его длине, то код называется кодом полного ранга. Пусть m – положительное целое число. Доказывается, что при n = qm и при достаточно больших m и q существуют нелинейные 1-квазисовершенные q-ичные коды полного ранга длины n. Также для некоторых нелинейных 1-квазисовершенных q-ичных кодов вычисляются размерности ядра.

Об авторах

А. М Романов

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Email: rom@math.nsc.ru
Новосибирск

Список литературы

  1. Романов А.М. О совершенных кодах и кодах Рида–Маллера над конечными полями // Пробл. передачи информ. 2021. Т. 57. № 3. С. 3–16. https://doi.org/10.31857/S0555292321030013
  2. Romanov A.M. On the Number of q-ary Quasi-perfect Codes with Covering Radius 2 // Des. Codes Cryptogr. 2022. V. 90. № 8. P. 1713–1719. https://doi.org/10.1007/s10623-022-01070-y
  3. Romanov A.M. Perfect Mixed Codes from Generalized Reed–Muller Codes // Des. Codes Cryptogr. 2024. V. 92. № 6. P. 1747–1759. https://doi.org/10.1007/s10623-024-01364-3
  4. Baicheva T., Bouyukliev I., Dodunekov S., Fack V. Binary and Ternary Linear Quasi-Perfect Codes With Small Dimensions // IEEE Trans. Inform. Theory. 2008. V. 54. № 9. P. 4335–4339. https://doi.org/10.1109/TIT.2008.928277
  5. Etzion T., Mounits B. Quasi-perfect Codes with Small Distance // IEEE Trans. Inf. Theory. 2005. V. 51. № 11. P. 3938–3946. https://doi.org/10.1109/TIT.2005.856944
  6. Etzion T. Perfect Codes and Related Structures. Hackensack, NJ: World Sci., 2022.
  7. Phelps K.T., LeVan M. Kernels of Nonlinear Hamming Codes // Des. Codes Cryptogr. 1995. V. 6. № 3. P. 247–257. https://doi.org/10.1007/BF01388478
  8. Heden O. On Perfect p-ary Codes of Length p + 1 // Des. Codes Cryptogr. 2008. V. 46. № 1. P. 45–56. https://doi.org/10.1007/s10623-007-9133-y
  9. Romanov A.M. Hamiltonicity of Minimum Distance Graphs of 1-Perfect Codes // Electron. J. Combin. 2012. V. 19. № 1. Article P65 (6 pp.). https://doi.org/10.37236/2158
  10. Romanov A.M. Disjoint Hamiltonian Cycles in Minimum Distance Graphs of 1-Perfect Codes // Australas. J. Combin. 2017. V. 69. № 2. Part 2. P. 215–221. Available at https://ajc.maths.uq.edu.au/pdf/69/ajc_v69_p215.pdf
  11. Etzion T., Vardy A. Perfect Binary Codes: Constructions, Properties and Enumeration // IEEE Trans. Inform. Theory. 1994. V.40. № 3. P. 754–763. https://doi.org/10.1109/18.335887
  12. Phelps K.T., Villanueva M. Ranks of q-ary 1-Perfect Codes // Des. Codes Cryptogr. 2002. V. 27. № 1–2. P. 139–144. https://doi.org/10.1023/A:1016510804974
  13. Phelps K.T., Rifa` J., Villanueva M. Rank and Kernel of Binary Hadamard Codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 2005. V. 51. № 11. P. 3931–3937. https://doi.org/10.1109/TIT.2005.856940
  14. Li X., Shi M., Wang S., Lu H., Zheng Y. Rank and Pairs of Rank and Dimension of Kernel of ZpZp2-Linear Codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 2024. V. 70. № 5. P. 3202–3212. https://doi.org/10.1109/TIT.2023.3317064
  15. Borges J., Phelps K.T., Rifa` J. The Rank and Kernel of Extended 1-Perfect Z4-Linear and Additive Non-Z4-Linear Codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 2003. V. 49. № 8. P. 2028–2034. https://doi.org/10.1109/TIT.2003.814490
  16. Васильев Ю.Л. О негрупповых плотно упакованных кодах // Проблемы кибернетики. Т. 8. М.: Физматлит, 1962. С. 337–339.
  17. Romanov A.M. On Nonlinear 1-Quasi-perfect Codes and Their Structural Properties // Probl. Inf. Transm. 2024. V. 60. № 3. P. 141–154. https://doi.org/10.1134/S0032946024030013
  18. Batten L.M. Combinatorics of Finite Geometries, Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1997.
  19. Мак-Вильямс Ф.Дж., Слоэн Н.Дж.А. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.: Связь, 1979.
  20. Kasami T., Lin S., Peterson W. New Generalizations of the Reed–Muller Codes. I: Primitive Codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 1968. V. 14. № 2. P. 189–199. https://doi.org/10.1109/TIT.1968.1054127
  21. Assmus E.F., Key J.D. Polynomial Codes and Finite Geometries // Handbook of Coding Theory. Amsterdam: Elsevier, 1998. Vol. II. P. 1269–1344.
  22. Delsarte P., Goethals J.-M., MacWilliams F.J. On Generalized Reed–Muller Codes and Their Relatives // Inform. Control. 1970. V. 16. № 5. P. 403–442. https://doi.org/10.1016/S0019-9958(70)90214-7
  23. Августинович С.В., Соловьева Ф.И. О несистематических совершенных двоичных кодах // Пробл. передачи информ. 1996. Т. 32. № 3. С. 47–50. https://www.mathnet.ru/rus/ppi344

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Российская академия наук, 2024